2.- Fragmento de su libro "Fundamentos para una teoría general de conjuntos"
La precedente exposición de mis investigaciones en teoría de conjuntos ha llegado a su un punto en el que su continuación depende de una extensión del verdadero concepto de número más allá de los límites conocidos, y esta extensión va en una dirección que hasta donde yo sé no había sido explorada antes por nadie.
La dependencia en que me veo respecto a esta extensión del concepto de número es tan grande, que sin esta última apenas me sería posible dar sin violencia el menor paso adelante en la teoría de conjuntos; valga esta circunstancia como justificación, o si es necesario como excusa, por la introducción de ideas aparentemente extrañas en mis consideraciones. Pues se trata de una extensión o prosecución de la serie de los verdaderos números más allá del infinito; por atrevido que esto pueda parecer, estoy en condiciones de expresar no sólo la esperanza, sino la firme convicción de que con el tiempo esta extensión habrá de verse como algo totalmente simple, apropiado y natural. Al hacerlo no me oculto en absoluto que con esta empresa me sitúo en una cierta oposición respecto a intuiciones ampliamente difundidas acerca del infinito matemático, y respecto a puntos de vista sobre la esencia de las magnitudes numéricas defendidos a menudo.
Por lo que hace al infinito matemático, en tanto que éste ha encontrado una aplicación justificada en la ciencia y ha sido de utilidad para ella, me parece que hasta ahora ha aparecido principalmente en el papel de una cantidad variable que o bien crece más allá de todos los límites o bien se hace tan pequeña como se desee, pero siempre continúa siendo finita. A este infinito lo llamo infinito impropio.
Pero en los últimos tiempos se ha desarrollado, tanto en geometría como particularmente en la teoría de funciones, otro tipo de conceptos del infinito igualmente justificado. Por ejemplo, en la investigación de una función analítica de variable compleja se ha hecho necesario y habitual imaginar, en el plano que representa la variable compleja, un único punto situado en el infinito (esto es, un punto infinitamente distante pero definido) y examinar el comportamiento de la función en el entorno de ese punto, igual que en el entorno de otro punto cualquiera. Resulta así que en el entorno del punto infinitamente distante la función muestra exactamente los mismos comportamientos que en cualquier otro punto situado en la región finita, de modo que en este caso estamos plenamente justificados para pensar en el infinito como situado en un punto completamente determinado.
Cuando el infinito aparece en esta forma definida lo llamo infinito propio.
El infinito matemático, en ambas formas, ha llevado a los más grandes progresos en geometría, en análisis y en física matemática, pero esas dos formas de aparición deben ser cuidadosamente distinguidas para comprender lo que sigue.
Bajo su primera forma, el infinito impropio, se presenta como algo finito variable; en la otra forma, lo que yo llamo el infinito propio, aparece como un infinito completamente determinado. Los verdaderos números infinitos, que definiré en lo que sigue (y a los que me vi llevado hace muchos años, sin llegar a ser claramente consciente de que se trataba de números concretos con significado real) no tienen absolutamente nada en común con la primera de estas dos formas, con el infinito impropio. Antes bien, poseen el mismo carácter de determinación que encontramos en los puntos infinitamente distantes de la teoría de funciones analíticas; esto es, pertenecen a las formas y afecciones del infinito propio. Pero mientras el punto en el infinito del plano de los números complejos se encuentra solo frente a todos los puntos situados en la región finita, aquí obtenemos no ya un solo número infinito, sino una secuencia infinita de números, los cuales están claramente diferenciados unos de otros, y mantienen relaciones aritméticas regulares tanto entre ellos como con los enteros finitos. Estas relaciones no son tales que puedan ser reducidas esencialmente a las relaciones de los números finitos entre sí; efectivamente este fenómeno puede aparecer frecuentemente, pero sólo en las diferentes intensidades y formas del infinito impropio, por ejemplo en funciones de una variable x que se hacen infinitamente grandes o infinitamente pequeñas, en caso de que en su crecimiento infinito adopten órdenes finitos determinados. Tales relaciones de hecho sólo pueden ser consideradas como relaciones encubiertas de lo finito, o en todo caso como inmediatamente reductibles a lo finito; por el contrario, las leyes de los números enteros propiamente infinitos, que definiremos, son diferentes desde la base de las dependencias que reinan en lo finito, mas con esto no se excluye que los números reales finitos puedan recibir ciertas nuevas determinaciones con la ayuda de los números determinados infinitos.
Los nuevos números infinitos determinados serán definidos con la ayuda de dos principios de generación por cuya acción combinada es posible traspasar cualquier barrera en la formación conceptual de los verdaderos números. Pero afortunadamente, como ya veremos, se opone a ellos un tercer principio al que yo llamo principio de restricción o de limitación; éste impone sucesivamente ciertas restricciones en el proceso absolutamente ilimitado de formación, de modo que obtenemos segmentos naturales en la secuencia absolutamente infinita de enteros, segmentos a los que llamo clases numéricas.
La primera clase numérica (I) es el conjunto de los números enteros finitos 1, 2, 3, …, n, …; le sigue la segunda clase numérica (II), consistente en ciertos números infinitos que se siguen unos a otros en una determinada sucesión; tan pronto como la segunda clase numérica ha sido definida, se llega a la tercera, luego a la cuarta, y así sucesivamente.
La introducción de los nuevos números enteros me parece, ante todo, de la mayor importancia para el desarrollo y refinamiento del concepto de potencia, que introduje en mis primeros artículos y que he aplicado con frecuencia en los números precedentes de este ensayo. Conforme a este concepto, a todo conjunto bien definido le corresponde una potencia determinada, de modo que dos conjuntos tienen la misma potencia si se pueden coordinar uno con otro, elemento a elemento, biunívocamente.
Para conjuntos finitos, la potencia coincide con la enumeración de los elementos; pues, como es sabido, tales conjuntos dan lugar a la misma enumeración de sus elementos bajo cualquier ordenación.
Para conjuntos infinitos, por el contrario, no se había hablado en absoluto hasta ahora, ni en mis trabajos ni en otro lugar, de una enumeración definida de sus elementos, aunque se les podía adscribir una potencia determinada, enteramente independiente de su orden.
Fue fácil mostrar que la potencia más pequeña de conjuntos infinitos debe asignarse a aquellos que pueden ser coordinados biunívocamente con la primera clase numérica, y consecuentemente tienen la misma potencia que ella. Pero carecíamos hasta ahora una definición igualmente simple y natural de las potencias superiores.
Nuestras ya mencionadas clases numéricas de verdaderos números infinitos y determinados prueban ahora ser los representantes naturales, que se nos ofrecen de forma unificada, de la secuencia regular de potencias crecientes de conjuntos bien definidos. Mostraré de la forma más clara que la potencia de la segunda clase numérica (II) no es sólo diferente de la potencia de la primera clase numérica, sino que es también de hecho la potencia inmediatamente superior; podemos por tanto llamarla la segunda potencia o la potencia de la segunda clase. Similarmente, de la tercera clase de números resulta la definición de la tercera potencia o potencia de la tercera clase, etc., etc.
