Segundo método de expresión de sucesión.

· Ley de recurrencia. Construimos cada término en relación con los anteriores. Tendremos que conocer también alguno de los primeros términos para poder empezar a calcular a los demás.

an=2·an-1 

Es una ley recurrente que nos indica que cada término es el doble del anterior. Para poder aplicarla necesitamos un punto de partida que puede ser, por ejemplo, el primer término. La sucesión completamente definida vendría dada por: 

an=2·an-1; a1=3

Con esto podemos escribir la sucesión

Primer método de expresión de sucesión.

· Descripción de sus términos. Determinamos una sucesión mediante una propiedad que define sus términos. 

- Los números naturales pares, o múltiplos de dos: 2,4,6,8,10, ... 
- Los múltiplos de once: 11,22,33,44, ... 
- Loa números primos: 2,3,5,7,11, ...

Sucesión.

Otros elementos matemáticos que nos ayudan a estudiar y resolver numerosos problemas son las sucesiones. 

· Una sucesión es un conjunto ordenado de números, cada uno de los cuales recibe el nombre de término. De forma general escribimos una sucesión como: 

a1, a2 ,a3,a4 ... 

Donde hemos representado cada término por una a (valdría cualquier letra) con un subíndice que nos indica el lugar que ocupa en la sucesión: a1 es el primer término de la sucesión, a2 el segundo, a3 el tercero... y an es el término n-ésimo,

también denominado término general, ya que representa a cualquier término en función del valor que adopte n.

Las sucesiones tienen aplicaciones muy variadas, ya que sirven para describir numerosas situaciones que van desde el número de individuos de una población año tras año hasta la evolución del precio de un valor de bolsa. 

Carl Friedrich Gauss y su curiosa anécdota.

Desde muy pequeño, Gauss mostró su talento para los números y para el lenguaje. Aprendió a leer solo y, sin que nadie lo ayudara, aprendió muy rápido la aritmética elemental desde muy pequeño. En 1784, a los siete años de edad, ingresó a una de las escuelas de primeras letras de Brunswick donde daba clases un maestro rural llamado Büttner, quien corrigió rápidamente su lectura, le enseñó gramática, ortografía y caligrafía y perfeccionó su talento matemático y lo animó a continuar el bachillerato, como consta en su carta para que lo aceptaran en el Lyceum; pero que usaba unos métodos severos y una estricta disciplina, lo que desagradaba a alguien tan sensible. Se cuenta la anécdota de que, a los dos años de estar en la escuela, durante la clase de Aritmética, el maestro propuso el problema de sumar los números de una progresión aritmética. Gauss halló la respuesta correcta casi inmediatamente diciendo «Ligget se'» ('ya está'). Al acabar la hora se comprobaron las soluciones y se vio que la solución de Gauss era correcta, mientras que no lo eran muchas de las de sus compañeros.

Aquí os dejo un vídeo contando y explicando su curiosa anécdota. 

Sistemas de ecuaciones.

·Dos ecuaciones en las que aparecen las mismas incógnitas se denominan sistema de ecuaciones.Si las ecuaciones que forman el sistema son de primer grado,decimos que es un sistema de ecuaciones lineales.

Para resolver estos sistemas podemos usar cuatro métodos distintos:

 -Reducción

-Sustitución

-Igualación  

-El método gráfico

Los tres primeros se denominan métodos analíticos y se basan en obtener,mediante transformaciones algebraicas,una única ecuación para una de las dos incógnitas.Una vez despejada esta,podremos hallar la otra incógnita sustituyendo el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones que forman el sistema.

El método gráfico consiste en representar ambas ecuaciones en un mismo sistema de coordenadas.Por ser ecuaciones de primer grado,su representación será un linea recta.La solución al sistema vendrá dad por el punto de corte e ambas rectas.

Ejercicio de ecuación lineal.

Resolución de ecuaciones de primer grado.

· Resolver una ecuación es encontrar el valor o valores que, puestos en el lugar de la incógnita, cumplen lo que expresa la ecuación. Vamos a aprender a resolver ecuaciones de primer grado, que tienen un único número como solución.

· El método que vamos a usar para resolver ecuaciones es conseguir pasar de una ecuación complicada a una ecuación equivalente más sencilla. Para ello utilizaremos las siguientes propiedades:

Regla de la suma: Si sumamos o restamos una misma cantidad a los dos miembros de una ecuación, obtenemos otra ecuación equivalente. 
Regla de producto: Si multiplicamos o dividimos ambos miembros en una ecuación por un mismo número, obtenemos una ecuación equivalente. 

Ecuaciones incompletas de segundo grado.

· Decimos que una ecuación de segundo grado es incompleta cuando, al escribirla en la forma ax²+bx+c=0, o bien b=0, o bien c=0.

Observa que no tiene sentido considerar el caso en el que a=0, ya que si a=0 no habría ningún término de segundo grado en la ecuación y entonces estaríamos ante una ecuación de primer grado. Bastaría despejar la incógnita para resolverla.

Como cualquier ecuación de segundo grado, una ecuación incompleta de segundo grado puede resolverse aplicando la fórmula que has estudiado. Si utilizas este método debes tener cuidado a la hora de sustituir los valores de a, b y c, ya que o b o c será cero. 

No obstante, existen otros métodos más sencillos para resolver ecuaciones de segundo grado incompletas. Vamos a estudiarlos a continuación. 

Ecuaciones completas de segundo grado.

· Para resolver una ecuación de segundo grado, lo primero que debemos conseguir es que tenga la siguiente forma: 

· Donde a, b y c son números reales. La solución a esta ecuación vendrá dada entonces por: 

Ecuaciones de segundo grado.

· El grado de una ecuación es el mayor número al que aparece elevada la incógnita. Por ejemplo, 3x+1=7 es una ecuación de primer grado, mientras que x²-6x=11 es una ecuación de segundo grado.

Para resolver ecuaciones de primer grado se despeja la incógnita, sumando, restando multiplicando o dividiendo ambos miembros de la ecuación por una misma cantidad. Sin embargo, este método no es suficiente para resolver ecuaciones de segundo grado. 

Vamos a aprender como resolver este tipo de ecuaciones, para lo cual debemos distinguir, en primer lugar, si se trata de segundo grado completa o incompleta.

Ejemplo de resolución de ecuaciones de primer grado.

· Puede que nos encontremos con variables en los dos miembros: 
4a-5=7a+2

· Pasamos todos los términos con incógnita al lado izquierdo de la ecuación y los términos sin ella al lado derecho:

4a-7a=2+5 > -3a=7

·Despejamos finalmente la a dividiendo ambos términos entre -3:

-3a/-3 = 7/-3 > a= -7/3 

Resolución de ecuaciones de primer grado.

· Resolver una ecuación es encontrar el valor o valores que, puestos en el lugar de la incógnita, cumplen lo que expresa la ecuación. Vamos a aprender a resolver ecuaciones de primer grado, que tienen un único número como solución.
El método que vamos a usar para resolver ecuaciones es conseguir pasar la ecuación  equivalente más sencilla. Para ello utilizaremos las siguientes propiedades:

Regla de la suma: Si sumamos o restamos una misma cantidad a los miembros de una ecuación, obtenemos otra ecuación equivalente. 

Regla de producto: Si multiplicamos o dividimos ambos miembros de una ecuación por un mismo número, obtenemos una ecuación equivalente. 

Suma por diferencia.

· Vamos a calcular el producto de la suma de dos términos por la resta de estos mismos términos, es decir:  (a+b)·(a-b)

El cuadrado de una resta.

· Consideramos ahora un polinomio formado por la resta de los términos es decir el polinomio a - b. 

Podemos calcular su cuadrado con un proceso idéntico al cuadrado de una suma. 

El cuadrado de una suma.

· Vamos a considerar un polinomio formado por la suma de dos términos que llamamos a y b. Será entonces el polinomio a+b.

- Si queremos calcular su cuadrado, tendremos que multiplicar este polinomio por sí mismo.

Identidades notables.

· Se denominan identidades notables a las igualdades que aparecen frecuentemente en matemáticas y otras ciencias. 

Asunción de riesgos.

· Asunción de riesgos: Predisposición de actuar con decisión ante situaciones que requieren cierto arrajo por su dificultad.

Factorización de polinomios.

· Cuando todos los términos de un polinomio comparten un factor común podemos expresar dicho polinomio con un producto entre esa parte común y la suma del resto de los factores.

Por ejemplo:

División de polinomios.

· Para realizar una división de polinomios utilizaremos la "caja de división": primero se colocan los polinomios en orden decreciente según sus grados y a continuación operamos de la misma manera que si de números se tratase. 

· Es una división entera: 
   Dividendo=divisor·cociente+resto 
   Ejemplo: 10=3·3+1